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\(a_n\)\(S_n\)联袂数列(有通项)

$$ \begin{gather} a_nS_n=\cfrac{1}{4^n},a_1>0,求a_n. \end{gather} $$

Attempt1:

$$ \begin{gather} 消去S_n:S_n=\cfrac{1}{a_n4^n}\\ S_{n+1}=\cfrac{1}{a_{n+1}4^{n+1}}\\ a_{n+1}=\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{1}{a_{n+1}}-\cfrac{4}{a_n}})\\ =\cfrac{1}{4^{n+1}}({\cfrac{a_{n}-4a_{n+1}}{a_na_{n+1}}}) \end{gather} $$

这样的形式还是太复杂了,遂放弃.

Attempt2:

$$ \begin{gather} 消a_n:(S_{n}-S_{n-1})S_n=\cfrac{1}{4^n}\\ 可以把\cfrac{1}{4^n}“雨露均沾”分给两个因式\\ 令b_n=2^nS_n,有:\\ (b_{n}-2b_{n-1})b_n=1\\ 即:{b_n}^2-2b_{n-1}b_n=1\\ 从b_{n-1}到b_n比较困难,需要用求根公式,\\ 何不反其道而行之?\\ b_{n-1}=\cfrac{{b_n}^2-1}{2b_n}\\ 我们惊喜的发现,\\式子的形式类似于正切二倍角公式:\\ 遂令c_n=\cfrac{1}{b_n}=tan(θ_n)>0(θ_n>0),\\ tan(θ_{n-1})=c_{n-1}=\cfrac{2b_n}{{b_n}^2-1}\\=\cfrac{2c_n}{1-{c_n}^2}=tan(2θ_n)\\ 于是θ_n=\cfrac{θ_{n-1}}{2},我们便构建了从n-1到n的递推.\\ S_1=a_1=\cfrac{1}{2},b_1=1,c_1=1=tan(θ_1).\\ 则θ_1=\cfrac{π}{4},θ_n=\cfrac{π}{2^{n+1}}. S_n=\cfrac{b_n}{2^n}=\cfrac{1}{2^nc_n}\\=\cfrac{1}{2^ntan(\cfrac{π}{2^{n+1}})},\\ a_n=S_n-S_{n-1}\\=\cfrac{1}{2^ntan(\cfrac{π}{2^{n+1}})}-\cfrac{1}{2^{n-1}tan(\cfrac{π}{2^{n}})}(n\ge 2)\\ 把tan写成cot就不会有定义域的问题:\\a_n=\cfrac{cot(\cfrac{π}{2^{n+1}})}{2^n}-\cfrac{cot(\cfrac{π}{2^{n}})}{2^{n-1}}(n\ge 1) \end{gather} $$

通项还可以继续化简:

$$ \begin{gather} ∵cot(x)-2cot(2x)=tan(x)\\ ∴a_n=\cfrac{tan(\cfrac{π}{2^{n+1}})}{2^n}(n\ge 1) \end{gather} $$